Innehåll
I denna publikation kommer vi att överväga de grundläggande egenskaperna hos höjd i en liksidig (regelbunden) triangel. Vi kommer också att analysera ett exempel på att lösa ett problem i detta ämne.
Notera: triangeln kallas liksidigom alla dess sidor är lika.
Höjdegenskaper i en liksidig triangel
Fastighet 1
Vilken höjd som helst i en liksidig triangel är både en bisektrik, en median och en vinkelrät bisektrik.
- BD – höjd sänkt åt sidan AC;
- BD är medianen som delar sidan AC på hälften, dvs AD = DC;
- BD – vinkelhalveringsled ABC, dvs ∠ABD = ∠CBD;
- BD är medianen vinkelrät mot AC.
Fastighet 2
Alla tre höjderna i en liksidig triangel har samma längd.
AE = BD = CF
Fastighet 3
Höjden i en liksidig triangel vid ortocentrum (skärningspunkten) är uppdelade i förhållandet 2:1, räknat från den hörn från vilken de är ritade.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Fastighet 4
Ortocentrum för en liksidig triangel är centrum för de inskrivna och omskrivna cirklarna.
- R är radien för den omskrivna cirkeln;
- r är radien för den inskrivna cirkeln;
- R = 2r (följer av Egenskaper 3).
Fastighet 5
Höjden i en liksidig triangel delar den i två rätvinkliga trianglar med lika area (lika area).
S1 =S2
Tre höjder i en liksidig triangel delar den i 6 rätvinkliga trianglar med lika stor yta.
Fastighet 6
Genom att känna till längden på sidan av en liksidig triangel kan dess höjd beräknas med formeln:
a är sidan av triangeln.
Exempel på problem
Radien för en cirkel omskriven runt en liksidig triangel är 7 cm. Hitta sidan av denna triangel.
Lösning
Som vi vet från egenskaper 3 и 4, radien för den omskrivna cirkeln är 2/3 av höjden på en liksidig triangel (h). Följaktligen, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 cm.
Nu återstår att beräkna längden på sidan av triangeln (uttrycket härleds från formeln i Fastighet 6):
