Fermats lilla sats

I den här publikationen kommer vi att överväga en av huvudsatserna i heltalsteorin –  Fermats lilla satsuppkallad efter den franske matematikern Pierre de Fermat. Vi kommer också att analysera ett exempel på att lösa problemet för att konsolidera det presenterade materialet.

Uttalande av satsen

1. Första

If p är ett primtal a är ett heltal som inte är delbart med psedan a^p-1 - 1 dividerat med p.

Det är formellt skrivet så här: a^p-1 ≡ 1 (mot p).

Notera: Ett primtal är ett naturligt tal som endast är delbart med XNUMX och sig själv utan rest.

Till exempel:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• antal 15 dividerat med 5 utan rest.

2. Alternativ

If p är ett primtal, a vilket heltal som helst alltså a^p jämförbar med a modulo p.

a^p ≡ a (mot p)

Historien om att hitta bevis

Pierre de Fermat formulerade teoremet 1640, men bevisade det inte själv. Senare gjordes detta av Gottfried Wilhelm Leibniz, en tysk filosof, logiker, matematiker, etc. Man tror att han hade beviset redan 1683, även om det aldrig publicerades. Det är anmärkningsvärt att Leibniz upptäckte satsen själv, utan att veta att den redan hade formulerats tidigare.

Det första beviset för satsen publicerades 1736, och det tillhör schweizaren, tysken och matematikern och mekanikern Leonhard Euler. Fermats lilla sats är ett specialfall av Eulers sats.

Exempel på problem

Hitta resten av ett tal 2¹² on 12.

Lösning

Låt oss föreställa oss ett nummer 2¹² as 2-2¹¹.

11 är ett primtal, därför får vi av Fermats lilla sats:

2¹¹ ≡ 2 (mot 11).

Därav, 2-2¹¹ ≡ 4 (mot 11).

Så numret 2¹² dividerat med 12 med en rest lika med 4.