I den här publikationen kommer vi att överväga en av de klassiska satserna för affin geometri - Ceva-satsen, som fick ett sådant namn för att hedra den italienska ingenjören Giovanni Ceva. Vi kommer också att analysera ett exempel på att lösa problemet för att konsolidera det presenterade materialet.
Uttalande av satsen
Triangel given ABC, där varje vertex är ansluten till en punkt på motsatt sida.
Således får vi tre segment (AA', BB' и CC'), som kallas cevians.
Dessa segment skär varandra vid en punkt om och endast om följande likhet gäller:
|OCH'| |INTE'| |CB'| = |FÖRE KRISTUS'| |FLYTTA'| |AB'|
Teoremet kan också presenteras i denna form (det bestäms i vilket förhållande punkterna delar sidorna):
Cevas trigonometriska sats
Obs: alla hörn är orienterade.
Exempel på problem
Triangel given ABC med prickar TILL', B ' и C ' på sidorna BC, AC и AB, respektive. Triangelns hörn är anslutna till de givna punkterna, och de bildade segmenten passerar genom en punkt. Samtidigt poängen TILL' и B ' tagna i mitten av motsvarande motsatta sidor. Ta reda på i vilket förhållande poängen C ' delar sidan AB.
Lösning
Låt oss rita en ritning enligt villkoren för problemet. För vår bekvämlighet använder vi följande notation:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Det återstår bara att komponera förhållandet mellan segmenten enligt Ceva-satsen och ersätta den accepterade notationen i den:
Efter att ha reducerat bråken får vi:
Därav, AC' = C'B, dvs punkt C ' delar sidan AB itu.
Därför, i vår triangel, segmenten AA', BB' и CC' är medianer. Efter att ha löst problemet bevisade vi att de skär varandra vid en punkt (gäller för vilken triangel som helst).
Notera: med hjälp av Cevas sats kan man bevisa att i en triangel vid en punkt skär sig även bisektrarna eller höjderna.