System av linjära algebraiska ekvationer

I den här publikationen kommer vi att överväga definitionen av ett system av linjära algebraiska ekvationer (SLAE), hur det ser ut, vilka typer det finns och även hur man presenterar det i en matrisform, inklusive en utökad.

Definition av ett system av linjära ekvationer

System av linjära algebraiska ekvationer (eller "SLAU" för kort) är ett system som i allmänhet ser ut så här:

• m är antalet ekvationer;
• n är antalet variabler.
• x₁, x₂,…, x_n - okänd;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – koefficienter för okända;
• b₁, b₂,..., b_m – gratis medlemmar.

Koefficientindex (a_ij) bildas enligt följande:

• i är numret på den linjära ekvationen;
• j är numret på den variabel som koefficienten avser.

SLAU lösning – sådana siffror c₁, C₂,…, c_n , i inställningen som istället för x₁, x₂,…, x_n, kommer alla ekvationer i systemet att förvandlas till identiteter.

Typer av SLAU

1. Homogen – alla fria medlemmar i systemet är lika med noll (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. heterogena – om villkoret ovan inte är uppfyllt.
3. Fyrkant – antalet ekvationer är lika med antalet okända, dvs m = n.

   

4. Underbestämd – antalet okända är större än antalet ekvationer.

   

5. åsidosatta Det finns fler ekvationer än variabler.

   

Beroende på antalet lösningar kan SLAE vara:

1. Gemensam har minst en lösning. Dessutom, om det är unikt kallas systemet definitivt, om det finns flera lösningar kallas det obestämt.

   

   SLAE ovan är gemensam, eftersom det finns minst en lösning: x = 2, y = 3.

2. oförenlig Systemet har inga lösningar.

   

   De högra sidorna av ekvationerna är desamma, men de vänstra är det inte. Det finns alltså inga lösningar.

Matrisnotation av systemet

SLAE kan representeras i matrisform:

AX = B

• A är matrisen som bildas av koefficienterna för de okända:

  

• X – kolumn med variabler:

  

• B – kolumn med gratismedlemmar:

  

Exempelvis

Vi representerar ekvationssystemet nedan i matrisform:

Med hjälp av formulären ovan komponerar vi huvudmatrisen med koefficienter, kolumner med okända och fria medlemmar.

Fullständig registrering av det givna ekvationssystemet i matrisform:

Utökad SLAE-matris

Om till systemets matris A lägg till kolumnen för gratis medlemmar till höger B, separerar data med en vertikal stapel, får du en utökad matris av SLAE.

För exemplet ovan ser det ut så här:

– beteckning av den utökade matrisen.