Hitta den inversa matrisen

I den här publikationen kommer vi att överväga vad en invers matris är, och med hjälp av ett praktiskt exempel kommer vi också att analysera hur den kan hittas med en speciell formel och en algoritm för sekventiella åtgärder.

Definition av invers matris

Låt oss först komma ihåg vad ömsesidighet är i matematik. Låt oss säga att vi har talet 7. Då blir dess invers 7^-1 or ¹/₇. Om du multiplicerar dessa tal blir resultatet ett, dvs 7 7^-1 = 1.

Nästan samma sak med matriser. Vända en sådan matris kallas, multiplicera vilken med den ursprungliga, vi får identiteten. Hon är stämplad som A^-1.

A · A^-1 =E

Algoritm för att hitta den inversa matrisen

För att hitta den inversa matrisen måste du kunna beräkna matriser, samt ha kompetens att utföra vissa åtgärder med dem.

Det bör genast noteras att inversen endast kan hittas för en kvadratisk matris, och detta görs med hjälp av formeln nedan:

|A| – matrisdeterminant;

A^T_M är den transponerade matrisen av algebraiska additioner.

Notera: om determinanten är noll, så existerar inte den inversa matrisen.

Exempelvis

Låt oss leta efter matrisen A nedan är baksidan av det.

Lösning

1. Låt oss först hitta determinanten för den givna matrisen.

2. Låt oss nu göra en matris som har samma dimensioner som den ursprungliga:

Vi måste ta reda på vilka siffror som ska ersätta asteriskerna. Låt oss börja med det övre vänstra elementet i matrisen. Den mindre till den hittas genom att strecka över raden och kolumnen där den finns, dvs i båda fallen på nummer ett.

Antalet som återstår efter genomstrykningen är det obligatoriska bitalet, dvs M₁₁ = 8.

På samma sätt hittar vi minorerna för de återstående elementen i matrisen och får följande resultat.

3. Vi definierar matrisen för algebraiska additioner. Hur man beräknar dem för varje element, övervägde vi i en separat.

Till exempel för ett element a₁₁ algebraisk addition anses som följer:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Utför transponeringen av den resulterande matrisen av algebraiska tillägg (dvs. byt ut kolumner och rader).

5. Det återstår bara att använda formeln ovan för att hitta den inversa matrisen.

Vi kan lämna svaret i denna form, utan att dela matrisens element med talet 11, eftersom vi i det här fallet får fula bråktal.

Kontrollerar resultatet

För att säkerställa att vi fick inversen av den ursprungliga matrisen, kan vi hitta deras produkt, som bör vara lika med identitetsmatrisen.

Som ett resultat fick vi identitetsmatrisen, vilket betyder att vi gjorde allt rätt.