I den här publikationen kommer vi att överväga en av huvudsatserna i euklidisk geometri – Stewarts teorem, som fick ett sådant namn för att hedra den engelske matematikern M. Stewart, som bevisade det. Vi kommer också att analysera i detalj ett exempel på att lösa problemet för att konsolidera det presenterade materialet.
Uttalande av satsen
Dan triangel ABC. Vid hans sida AC jag förstår D, som är ansluten till toppen B. Vi accepterar följande notation:
- AB = a
- BC = b
- BD = sid
- AD = x
- DC = och
För denna triangel är likheten sann:
Tillämpning av satsen
Från Stewarts teorem kan formler härledas för att hitta medianerna och bisektorerna för en triangel:
1. Längden på bisektrisen
Låt lc är bisektrisen dragen åt sidan c, som är uppdelad i segment x и y. Låt oss ta de andra två sidorna av triangeln som a и b… I detta fall:
2. Medianlängd
Låt mc är medianen nedvänd åt sidan c. Låt oss beteckna de andra två sidorna av triangeln som a и b… Sedan:
Exempel på problem
Triangel given ABC. På sidan AC lika med 9 cm, jag förstår D, som delar sidan så att AD dubbelt så länge DC. Längden på segmentet som förbinder vertexet B och peka D, är 5 cm. I det här fallet den bildade triangeln ABD är likbent. Hitta de återstående sidorna av triangeln ABC.
Lösning
Låt oss skildra villkoren för problemet i form av en ritning.
AC = AD + DC = 9 cm. AD längre DC två gånger, dvs AD = 2DC.
Följaktligen 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Så, DC =3 cm, AD = 6 cm.
Eftersom triangel ABD – likbent, och sida AD är 6 cm, så de är lika AB и BDIe AB = 5 cm.
Det återstår bara att hitta BC, som härleder formeln från Stewarts teorem:
Vi ersätter de kända värdena med detta uttryck:
På detta sätt, BC = √52 ≈ 7,21 cm.