Att höja ett komplext tal till en naturlig kraft

I den här publikationen kommer vi att överväga hur ett komplext tal kan höjas till en potens (inklusive att använda De Moivre-formeln). Det teoretiska materialet åtföljs av exempel för bättre förståelse.

Att höja ett komplext tal till en potens

Kom först ihåg att ett komplext tal har den allmänna formen: z = a + bi (algebraisk form).

Nu kan vi gå direkt till lösningen av problemet.

Kvadratnummer

Vi kan representera graden som en produkt av samma faktorer och sedan hitta deras produkt (medan vi kommer ihåg det i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Exempel 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Du kan också använda, nämligen kvadraten på summan:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Notera: På samma sätt, om nödvändigt, kan formler för kvadraten av skillnaden, kuben för summan / skillnaden, etc. erhållas.

N:e graden

Höj ett komplext tal z in natura n mycket lättare om det är representerat i trigonometrisk form.

Kom ihåg att notationen för ett nummer i allmänhet ser ut så här: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

För exponentiering kan du använda De Moivres formel (så uppkallad efter den engelske matematikern Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Formeln erhålls genom att skriva i trigonometrisk form (modulerna multipliceras, och argumenten läggs till).

Exempelvis 2

Höj ett komplext tal z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) till åttonde graden.

Lösning

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).