Extrahera roten av ett komplext tal

I den här publikationen kommer vi att titta på hur du kan ta roten till ett komplext tal, och även hur detta kan hjälpa till att lösa andragradsekvationer vars diskriminant är mindre än noll.

Extrahera roten av ett komplext tal

Roten ur

Som vi vet är det omöjligt att ta roten från ett negativt reellt tal. Men när det gäller komplexa tal kan denna åtgärd utföras. Låt oss ta reda på det.

Låt oss säga att vi har ett nummer z = -9. För √-9 det finns två rötter:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Låt oss kontrollera de erhållna resultaten genom att lösa ekvationen z² = -9, att inte glömma det i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ jag² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ jag² = 9 ⋅ (-1) = -9

Det har vi alltså bevisat -3i и 3i är rötter √-9.

Roten till ett negativt tal skrivs vanligtvis så här:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i och så vidare

Rot till kraften av n

Antag att vi får formekvationer z = ⁿ√w… Det har n rötter (z₀, Av₁, Av₂,…, z_{N 1}), som kan beräknas med formeln nedan:

|w| är modulen av ett komplext tal w;

φ – hans argument

k är en parameter som tar värdena: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Andragradsekvationer med komplexa rötter

Att extrahera roten till ett negativt tal ändrar den vanliga idén om uXNUMXbuXNUMXb. Om diskriminanten (D) är mindre än noll, då kan det inte finnas reella rötter, men de kan representeras som komplexa tal.

Exempelvis

Låt oss lösa ekvationen x² – 8x + 20 = 0.

Lösning

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, men vi kan fortfarande ta roten till den negativa diskriminanten:

√D = √-16 = ±4i

Nu kan vi beräkna rötterna:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Därför ekvationen x² – 8x + 20 = 0 har två komplexa konjugerade rötter:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i