Identitetstransformationer av uttryck

I den här publikationen kommer vi att överväga huvudtyperna av identiska transformationer av algebraiska uttryck, och åtfölja dem med formler och exempel för att demonstrera deras tillämpning i praktiken. Syftet med sådana transformationer är att ersätta det ursprungliga uttrycket med ett identiskt lika.

Ordna om termer och faktorer

I vilken summa som helst kan du ordna om villkoren.

a + b = b + a

I vilken produkt som helst kan du ordna om faktorerna.

a ⋅ b = b ⋅ a

exempel:

• 1 + 2 = 2 + 1
• 128 ⋅ 32 = 32 ⋅ 128

Grupperingstermer (multiplikatorer)

Om det finns fler än 2 termer i summan kan de grupperas inom parentes. Om det behövs kan du först byta dem.

a + b + c + d = (a + c) + (b + d)

I produkten kan du även gruppera faktorerna.

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = (a ⋅ d) ⋅ (b ⋅ c)

exempel:

• 15 + 6 + 5 + 4 = (15 + 5) + (6 + 4)
• 6 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 4 = (6 ⋅ 4 ⋅ 8) ⋅ 11

Addition, subtraktion, multiplikation eller division med samma tal

Om samma tal läggs till eller subtraheras till båda delarna av identiteten förblir det sant.

If a + b = c + dsedan (a + b) ± e = (c + d) ± e.

Likhet kommer inte heller att kränkas om båda dess delar multipliceras eller divideras med samma tal.

If a + b = c + dsedan (a + b) ⋅/: e = (c + d) ⋅/: e.

exempel:

• 35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ (35 + 10) + 4 = (9 + 16 + 20) + 4
• 42 + 14 = 7 ⋅ 8 ⇒ (42 + 14) ⋅ 12 = (7 ⋅ 8) ⋅ 12

Ersätta en skillnad med en summa (ofta en produkt)

Vilken skillnad som helst kan representeras som en summa av termer.

a – b = a + (-b)

Samma knep kan tillämpas på division, dvs ersätt ofta med produkt.

a : b = a ⋅ b^-1

exempel:

• 76 – 15 – 29 = 76 + (-15) + (-29)
• 42 : 3 = 42 ⋅ 3^-1

Utföra aritmetiska operationer

Du kan förenkla ett matematiskt uttryck (ibland avsevärt) genom att utföra aritmetiska operationer (addition, subtraktion, multiplikation och division), med hänsyn till de allmänt accepterade ordning för avrättning:

• först höjer vi till en potens, extraherar rötterna, beräknar logaritmer, trigonometriska och andra funktioner;
• sedan utför vi åtgärderna inom parentes;
• slutligen – från vänster till höger, utför de återstående åtgärderna. Multiplikation och division har företräde framför addition och subtraktion. Detta gäller även uttryck inom parentes.

exempel:

• 14 + 6 ⋅ (35 – 16 ⋅ 2) + 11 ⋅ 3 = 14 + 18 + 33 = 65
• 20 : 4 + 2 ⋅ (25 ⋅ 3 – 15) – 9 + 2 ⋅ 8 = 5 + 120 - 9 + 16 = 132

Konsolexpansion

Parenteser i ett aritmetiskt uttryck kan tas bort. Denna åtgärd utförs enligt vissa - beroende på vilka tecken ("plus", "minus", "multiplicera" eller "dela") som är före eller efter parenteserna.

exempel:

• 117+ (90 – 74 – 38) = 117 + 90 – 74 – 38
• 1040 – (-218 – 409 + 192) = 1040 + 218 + 409 – 192
• 22⋅(8+14) = 22 ⋅ 8 + 22 ⋅ 14
• 18: (4 – 6) = 18: 4-18: 6

Inom ramen för den gemensamma faktorn

Om alla termer i uttrycket har en gemensam faktor kan den tas utanför parentes, där termerna dividerade med denna faktor kommer att finnas kvar. Denna teknik gäller även för bokstavliga variabler.

exempel:

• 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 = 5⋅(3+6)
• 28 + 56 – 77 = 7 ⋅ (4 + 8 – 11)
• 31x + 50x = x ⋅ (31 + 50)

Tillämpning av förkortade multiplikationsformler

Du kan också använda för att utföra identiska transformationer av algebraiska uttryck.

exempel:

• (31 + 4)² = 31² + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4² = 1225
• 26² - 7² = (26 – 7) ⋅ (26 + 7) = 627