Höjdegenskaper hos en rätvinklig triangel

I den här publikationen kommer vi att överväga de viktigaste egenskaperna hos höjden i en rätvinklig triangel och också analysera exempel på att lösa problem i detta ämne.

Notera: triangeln kallas rektangulär, om en av dess vinklar är rät (lika med 90°) och de andra två är spetsig (<90°).

Höjdegenskaper i en rätvinklig triangel

Fastighet 1

En rätvinklig triangel har två höjder (h₁ и h₂) sammanfaller med dess ben.

tredje höjden (h₃) går ner till hypotenusan från rät vinkel.

Fastighet 2

Ortocentrum (skärningspunkten för höjder) för en rät triangel är i spetsen för den räta vinkeln.

Fastighet 3

Höjden i en rätvinklig triangel som dras till hypotenusan delar den i två liknande räta trianglar, som också liknar den ursprungliga.

1. △ABD ~ △ABC vid två lika vinklar: ∠ADB = ∠GUMMILACKA (räta linjer), ∠ABD = ∠ABC.

2. △ADC ~ △ABC vid två lika vinklar: ∠ADC = ∠GUMMILACKA (räta linjer), ∠ACD = ∠ACB.

3. △ABD ~ △ADC vid två lika vinklar: ∠ABD = ∠DAC, ∠DÅLIG = ∠ACD.

Bevis: ∠DÅLIG = 90° – ∠ABD (ABC). Samtidigt ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Därför ∠DÅLIG = ∠ACD.

Det kan bevisas på liknande sätt att ∠ABD = ∠DAC.

Fastighet 4

I en rätvinklig triangel beräknas höjden till hypotenusan enligt följande:

1. Genom segment på hypotenusan, bildad som ett resultat av dess division med basen av höjden:

2. Genom längderna av triangelns sidor:

Denna formel härrör från Egenskaper för sinus för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel (vinkelns sinus är lika med förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan):

Notera: för en rätvinklig triangel gäller även de allmänna höjdegenskaperna som presenteras i vår publikation.

Exempel på problem

Uppgift 1

Hypotenusan i en rätvinklig triangel delas med höjden som dras till den i segment 5 och 13 cm. Hitta längden på denna höjd.

Lösning

Låt oss använda den första formeln som presenteras i Fastighet 4:

Uppgift 2

Benen på en rätvinklig triangel är 9 och 12 cm. Hitta längden på höjden som dras till hypotenusan.

Lösning

Låt oss först hitta längden på hypotenusan längs (låt benen på triangeln vara "till" и ”B”, och hypotenusan är "mot"):

c² = A² + B.² = 9² + 12² = 225.

Följaktligen с = 15 cm.

Nu kan vi tillämpa den andra formeln från Egenskaper 4diskuterat ovan: