Innehåll
I den här publikationen kommer vi att överväga definitionen av rangen för en matris, såväl som metoderna för vilka den kan hittas. Vi kommer också att analysera exempel för att demonstrera tillämpningen av teori i praktiken.
Bestämma rangen av en matris
Matrix rang är rangordningen för dess system av rader eller kolumner. Varje matris har sina rader och kolumner, som är lika med varandra.
Radsystem rang är det maximala antalet linjärt oberoende rader. Kolumnsystemets rangordning bestäms på liknande sätt.
Anmärkningar:
- Rangen för nollmatrisen (betecknad med symbolen "θ") oavsett storlek är noll.
- Rangen för en radvektor eller kolumnvektor som inte är noll är lika med en.
- Om en matris av någon storlek innehåller minst ett element som inte är lika med noll, är dess rangordning inte mindre än ett.
- Rangen för en matris är inte större än dess minimidimension.
- Elementära transformationer som utförs på en matris ändrar inte dess rangordning.
Att hitta rangordningen för en matris
Fringing Minor Method
Rangen för en matris är lika med den maximala ordningen för en icke-noll.
Algoritmen är som följer: hitta minderåriga från de lägsta till de högsta. Om mindre nordningen är inte lika med noll, och alla efterföljande (n + 1) är lika med 0, så matrisens rangordning är n.
Exempelvis
För att göra det tydligare, låt oss ta ett praktiskt exempel och hitta rangordningen för matrisen A nedan, med hjälp av metoden att gränsa till minderåriga.
Lösning
Vi har att göra med en 4 × 4 matris, därför kan dess rangordning inte vara högre än 4. Det finns också element som inte är noll i matrisen, vilket betyder att dess rangordning inte är mindre än ett. Så låt oss börja:
1. Börja kontrollera minderåriga av andra ordningen. Till att börja med tar vi två rader av den första och andra kolumnen.
Minor är lika med noll.
Därför går vi vidare till nästa mindre (den första kolumnen finns kvar, och istället för den andra tar vi den tredje).
Minor är 54≠0, så rangordningen på matrisen är minst två.
Notera: Om denna mindre visade sig vara lika med noll, skulle vi ytterligare kontrollera följande kombinationer:
Vid behov kan uppräkningen fortsätta på samma sätt med strängar:
- 1 och 3;
- 1 och 4;
- 2 och 3;
- 2 och 4;
- 3 och 4.
Om alla andra ordningens minderåriga var lika med noll, skulle matrisens rangordning vara lika med ett.
2. Vi lyckades nästan direkt hitta en minderårig som passar oss. Så låt oss gå vidare till minderåriga av tredje ordningen.
Till den hittade mindre av den andra ordningen, som gav ett resultat som inte var noll, lägger vi till en rad och en av kolumnerna markerade i grönt (vi börjar från den andra).
Den minderårige visade sig vara noll.
Därför ändrar vi den andra kolumnen till den fjärde. Och på det andra försöket lyckas vi hitta en moll som inte är lika med noll, vilket innebär att rangen på matrisen inte kan vara mindre än 3.
Notera: om resultatet visade sig vara noll igen, istället för den andra raden, skulle vi ta den fjärde raden vidare och fortsätta sökandet efter en "bra" moll.
3. Nu återstår att avgöra minderåriga av fjärde ordningen baserat på vad som hittats tidigare. I det här fallet är det en som matchar matrisens determinant.
Minor är lika med 144≠0. Detta innebär att rangen av matrisen A lika med 4.
Reduktion av en matris till en stegvis form
Rangen för en stegmatris är lika med antalet rader som inte är noll. Det vill säga, allt vi behöver göra är att föra matrisen till lämplig form, till exempel genom att använda , som, som vi nämnde ovan, inte ändrar dess rang.
Exempelvis
Hitta rangordningen för en matris B Nedan. Vi tar inte ett alltför komplicerat exempel, eftersom vårt huvudmål helt enkelt är att demonstrera metodens tillämpning i praktiken.
Lösning
1. Subtrahera först det dubblade första från den andra raden.
2. Subtrahera nu den första raden från den tredje raden, multiplicerat med fyra.
Således fick vi en stegmatris där antalet rader som inte är noll är lika med två, därför är dess rang också lika med 2.