Vad är gränsen för en funktion

I den här publikationen kommer vi att överväga ett av huvudkoncepten för matematisk analys - gränsen för en funktion: dess definition, såväl som olika lösningar med praktiska exempel.

Bestämma gränsen för en funktion

Funktionsgräns – värdet som värdet av denna funktion tenderar mot när dess argument tenderar mot begränsningspunkten.

Gränsrekord:

• gränsen indikeras av ikonen lim;
• nedan läggs till vilket värde argumentet (variabeln) för funktionen tenderar till. Vanligtvis detta x, men inte nödvändigtvis, till exempel:x→1″;
• då läggs själva funktionen till till höger, till exempel:

  

Således ser den slutliga posten av gränsen ut så här (i vårt fall):

Läser som "gräns för funktionen eftersom x tenderar till enhet".

x→ 1 - detta betyder att "x" konsekvent antar värden som oändligt närmar sig enhet, men som aldrig kommer att sammanfalla med den (det kommer inte att nås).

Beslutsgränser

Med ett givet nummer

Låt oss lösa ovanstående gräns. För att göra detta, byt bara ut enheten i funktionen (eftersom x→1):

För att lösa gränsen försöker vi alltså först helt enkelt ersätta det givna talet i funktionen under det (om x tenderar till ett specifikt tal).

Med oändlighet

I det här fallet ökar argumentet för funktionen oändligt, det vill säga "X" tenderar till oändligheten (∞). Till exempel:

If x→∞, då tenderar den givna funktionen till minus oändlighet (-∞), eftersom:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 osv.

Ett annat mer komplext exempel

För att lösa denna gräns ökar du också helt enkelt värdena x och titta på funktionens "beteende" i det här fallet.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Således för "X"tenderar till oändligheten, funktionen x² +3x –6 växer i det oändliga.

Med osäkerhet (x tenderar till oändlighet)

I det här fallet talar vi om gränser, när funktionen är ett bråk, vars täljare och nämnare är polynom. Vart i "X" tenderar till oändligheten.

Exempelvis: låt oss beräkna gränsen nedan.

Lösning

Uttrycken i både täljaren och nämnaren tenderar till oändlighet. Det kan antas att i detta fall kommer lösningen att vara följande:

Dock inte allt så enkelt. För att lösa gränsen måste vi göra följande:

1. Hitta x till den högsta effekten för täljaren (i vårt fall är det två).

2. På samma sätt definierar vi x till den högsta potensen för nämnaren (är också lika med två).

3. Nu dividerar vi både täljaren och nämnaren med x i senior examen. I vårt fall, i båda fallen – i det andra, men om de var olika, borde vi ta den högsta graden.

4. I det resulterande resultatet tenderar alla bråk att bli noll, därför är svaret 1/2.

Med osäkerhet (x tenderar till ett specifikt tal)

Både täljaren och nämnaren är polynom, men "X" tenderar till ett specifikt nummer, inte till oändlighet.

I det här fallet blundar vi villkorligt för det faktum att nämnaren är noll.

Exempelvis: Låt oss hitta gränsen för funktionen nedan.

Lösning

1. Låt oss först ersätta siffran 1 i funktionen, som "X". Vi får osäkerheten i formen vi överväger.

2. Därefter delar vi upp täljaren och nämnaren i faktorer. För att göra detta kan du använda de förkortade multiplikationsformlerna, om de är lämpliga, eller.

I vårt fall är rötterna till uttrycket i täljaren (2x² – 5x + 3 = 0) är siffrorna 1 och 1,5. Därför kan det representeras som: 2(x-1)(x-1,5).

nämnare (x–1) är initialt enkel.

3. Vi får en sådan modifierad gräns:

4. Fraktionen kan reduceras med (x–1):

5. Det återstår bara att ersätta siffran 1 i uttrycket som erhålls under gränsen: